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赌徒输光定理

导读:赌博的历史可以追溯到旧石器后期,也就是5000年前,中国史前文明中大量运用“抓签”筮卜方式来判断凶吉,包括重大战事均透过卜卦来决定。

现代来看,无论是美国博彩业和澳门博彩业依然是生意兴隆,但科学的事实告诉你:赌徒就算是55开的输赢,最终也会输的倾家荡产。

这一结论来自于数学概率论中的一个重要定理:赌徒输光定理

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赌徒输光定理背景介绍

在“公平”的赌博中,任一个拥有有限赌本的赌徒,只要长期赌下去,必然有一天会输光。在“公平”的赌博中,任意一个拥有赌本的赌徒和一个拥有无限赌本的赌徒进行长期赌博,那么有限赌本的赌徒输光的概率是100%。

这个理论在生活中也有实际意义。例如著名的姓氏消亡定理,一个姓氏,在子代随父姓的传统中一直延续下去,最终会有很多姓氏消亡。

假设赌局公平,你有五块,赌场有五块,这时候你赢光他或者他赢光你机会是对等的,但是现在赌场的钱对个人而言几乎是无限的,那么到底,你总是会输的精光,这在数学的计算中也得到了论证。

在概率均等的情况下,谁的资本大,谁的赢率高。对于小散户,赌场一般可以认为财富是无限多的,你赢不垮它,它却能吃了你。

 2 

赌徒一定输光的理论推导

在一次赌博中,任意一个赌徒都有可能会赢。谁输谁赢是偶然的,但只要一直赌下去,输光却是必然的。用概率论计算赌博的模型其实很简单,收益率=赔率×赢的概率-1,无论下注策略怎么变化,这个公式是不会变的,只要赌的次数够多,结局也越接近这个计算值。

有这么一个赌博游戏,赢一块钱的概论是a,输一块钱的概论是b ,也就是1-a。如果有一个赌徒,开始始有10块钱,他想一直赌呀赌,要么把钱全输光破产, 要么赢到100块的时候收手。 那么现在问他能赢到在100块的可能性是多少 (或者概率是多少)?这就是著名的赌徒破产问题。


假设赌徒手里现在有10元钱,我们把赢到N元钱的概论记作Pr{N|10}。

我们可以知道:

P{N|0}=0, 明显你手里没有钱的时候,赢的概论是零

P{N|N}=1,你手里有N元钱,不用做任何事情,赢到N元钱的概论就是1


现在手里有10元钱,你下把要么是11块(赢),要么是9块(输), 就像我们开头说了玩一把赢的概论是a,输的概率是1-a。把下一把综合起来,我们可以推导出:

Pr{N|10}=a*Pr{N|11}+(1-a)*Pr{N|9}

更通用一点,我们把10换成变量h

Pr{N|h}=a*Pr{N|h+1}+(1-a)*Pr{N|h-1}


因此Pr{N|h} (h指0到N之间的数)满足二阶线性递推关系,这种递推关系的多项式如下:

它有两个特征根1和r=(1-a)/a, 一般情况下,这两个根不同的话,它的通解就是这两个特征根的连续幂的组合,因此Pr{N|h}:

已知P{N|0}=0,P{N|N}=1, 因此:

我们可以计算出如下: 因此一个人手里有h元,要赢到N元的概率是如下:

这是两个根不同的情况,如果a=1/2,我们会发现刚才方程有两个重根了,不适合这个模型,但是在a=1/2的时候,我们能推出:

Pr{N|h}=h/N.

因此,你有10块钱的时候,要想赢100块钱的概率其实是1/10, 因此你想赢的越多,你的概率越小, 想要无穷多的概率是0。

因为赌徒不会收手,所以最后一定是赌徒破产

 3 

牌手在扑克中的决策与运气无关

“EV”代表“期望值”(expected value),是扑克决策制定的真正货币。因为我们无法控制我们单个扑克交易中的金钱结果,我们需要一种不随短期运气波动的稳定货币。EV是我们平均而言因为我们的扑克行动赢得或输掉的金钱的数额。一些玩法被描述为“+EV”,这意味着它们长期而言是赚钱的,另一些玩法被我们称作“-EV”,因为它们长期而言是亏钱的。 

每次我们需要在牌局中做选择时,EV是我们试图最大化的东西。因为这个原因,我建议以特定方式游戏的每一个范围,在每个场合我建议的对每种对手的每一个调整,都旨在最大化我们的整体EV。 

因此,运气是完全无关的。我不在乎你在一手牌或一万手牌是输是赢,只要你在那些样本牌例中赚到了EV。如果你在10000手牌中采用了+EV的玩法,很可能你赚到了钱。这就是征服扑克的方法——长期地积攒EV,因为你知道或早或晚它会变成真金实银。


为扑克牌手,我们是很幸运的,经过无数次样本牌例后,我们知道这个EV将转变成赢得的金钱,我们赚到的恰好与EV相等,一分不多一分不少。经过很大但非无限(比如100万手牌)的样本牌例后,我们可以预计赚到的金额非常接近于我们具有的EV。这个结果可能比我们的EV略多或略少,但很可能它不会像短期结果那样差距明显。

 因此,EV很重要。从现在起,将EV作为你的目标。在小样本牌例中,钱并不重要,但EV重要。正如某人在我刚开始学扑克时对我所说:“EV不是钱,但它们是钱宝宝,终有一天会长大。”


 4 

扑克中每个行为都有相应的EV

无论实在生活还是工作中,我们都希望对自已的每一项投资得到相应的回报,而这种期望值就是你可以计算的最终的平均价值,这种预期价值我们简称为EV。扑克中每个行为都有相应的EV,EV是正的,长期来看就盈利,EV是负的,长期来看就在亏钱。

举例:你的底牌就是:A♠-2♠

而转牌后出来桌面上有 6♠-K♠-9♥-3

你有nuts同花面,彩池目前有50个筹码,而你正面对一个紧凑型(TP)的对手。但是现在你只有20个筹码,而你的对手还有很多筹码。此时他下注了20个筹码,你必须用所有的筹码来跟。从他的打法来看,你相信他手里一定有非常好的牌,至少是两对或三条。但是你的选择却只有跟牌或弃牌。这个时候你应该怎么做?

其实无论你怎么做,这局牌都结束了。你的输赢取决于河牌是什么。如果是黑桃,你就赢了,如果不是黑桃,那么你就输了。为了这样一个决定,就需要我们要计算每种打法的期望值,然后选择期望值较高的打法,这样才使得自己的获得更大的收益。

首先我们从弃牌分析,如果你弃牌你将没有任何损失也不会得到任何收益,所以你的期望值是0。

现在我们看看你跟注的情况,这或许有点复杂,一副扑克牌中有13张黑桃,现在你只看到了4张,其中两张在你手上,剩下的两张在桌面上。扑克牌一共52张,你看到其中6张,你意味着还剩46张没有出现,其中9张黑桃,37张是其他花色。

所以出现黑桃赢的概率是19.6%
0.196=9/46

出现黑桃输的概率是80.4%

0.804=37/46

这两个数近似为20%和80%。在德州扑克里,我们的计算很少做到精准。所以我们只需要算出大概的近似值,通常情况下,这种近似值能带给我们的精确值一样的答案。

20%的情况,我们会赢,得到了70个筹码(彩池里的50个筹码加上对手的20个筹码)。平均一个,你能赢14个筹码。

14=20%*70

我们输的时候会输20个筹码。平均一下,我们损失了16……个筹码。

-16=-80%*20

现在我们期望值。因为跟牌后有两种可能,即-2个筹码。

-2=-16(输的时候)+14(赢得时候)

也就是说,每次跟注都要输掉两个筹码。

那么现在就有一个之前遗留下来的问题:跟注还是弃牌?跟注每次损失两个筹码,弃牌不损失,所以弃牌更好。弃牌不会赢钱,但是可以输的更少。

 5 

一个常见的术语误解

我们必须注意一个常见的术语误解。EV和全压EV(All in EV)并非一回事。前者是你预期从你的任何扑克决定那儿赢得而输掉的资金,不管牌局是否打到摊牌。后者仅指当一手牌打到摊牌时你的预期盈利,它是单单那种情况下的EV估量。

全压EV往往与实际金钱收益相比较,作为一种评估一名牌手有多幸运/不幸的指标。我们必须牢记的是,全压EV只是一幅描述牌手在一种情况下的波动的图片,它没有考虑许多牌手没有打到摊牌场合的运气,因此它远非一幅描述牌手究竟运气如何的全景图,大家不要太注重这个数据。

 6 

扑克中的波动

职业牌手往往将他们的职业描述为“一种费力不赚钱的谋生手段”。他们最头痛的一个问题是——必须应对收入的不稳定性。虽然使用了高效的技能组合,而且有多年的牌场经验,但许多牌手仍然回家时口袋中的钞票比上桌之前少。这种扑克中的资金起伏被牌手们一致称为“波动”(variance)。

什么是波动?

在统计学术语中,波动被用来检测单一结果与一系列结果的平均值之间的差异。这种结果可以被描述成结果集中的数据点(data point),用来确定那个结果集的波动范围。

波动是个恐怖的怪兽,无可置疑。正当你春风得意时,波动就会出现并且在你的屁股上咬一口。波动之所以存在是因为计算与结果的差异所致的,说真的,几乎所有的决定都难逃波动的魔爪。当你用AA对KK在翻牌前全下时,你计算自己的AA有大概82%的赢率,但是其结果只会是100%或0,永远都不会是82%。原因很简单:“赔率”是从计算机那里得来的,它会枚举出翻牌-转牌-河牌的数百万中可能,然后告诉你其中输赢的比例。对波动没有做好准备通常会引致情绪失控,愤怒或做出错误决定。

波动是扑克如此有利可图的首要原因。国际象棋,一个伟大复杂的游戏,没有隐藏信息(比如扑克中的底牌),虽然它也是一个太复杂以至于没办法准确计算出所有结果的游戏,好的选手相对差的选手还是有着巨大的难以逾越的优势。所以国际象棋赚不了多少钱。你会把钱压在一定会输的游戏上吗(你可以直接通过段位分数等信息了解对手是否比你强)?在扑克里,波动会让人们沉浸于自己比某些对手强的幻象当中。当一个差的玩家赢的时候,这种幻象被固化,并且如果你想说服他(不是一个好的玩家),那可要费一番功夫。所以,虽然对波动的恨来的如此自然,我还是要歌颂波动,当对手让我以高赢率出局的时候,我会试着保持冷静,并且提醒自己作为一个职业扑克牌手,我早已准备好面对。

波动是你的朋友。波动中孕育着优势。如果你想要根除游戏的波动,那你也几乎每次都根除了自己的优势。(而且如果你没有根除优势,它也会很快消失,因为别人不会一直让你无风险地盈利。)

在无限注德州扑克中,不要因为想要减少波动而改变你的策略。你也同时会很显著地减少你的赢率。一些最成功的玩家通常都有着“无畏”的标签并不是偶然的。

此外,当在游戏、商业、生活中出现一个新的机会的时候,不要总是首先想到波动最小的策略。你从开始就越多地管理风险,你就越有可能错失那些最好的机会。



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结束语

WSOP系列赛主赛事冠军Chris Ferguson曾说,扑克是“100%运气与100%技术的结合”。每张牌的发出都是运气的结果,但一名牌手如何去应对无法预期的事件则是技术、实践与经验的结果。

希望每个牌手,以及所有热爱扑克的朋友,都能够认清自身差异,做好资金管理,控制好情绪,理性游戏。对于牌手如何能够取得最终成功来说,管理这种游戏固有的波动的能力与计算赔率与补牌(outs)、综合EV决策的能力是同等重要的。

理性看待游戏,合理计划,严格管理你就是一个成功的牌手!!

否则:你只是一个扑克赌徒。你最终会适用输光定理!!!


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